PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

DESVIACION TIPICA O ESTANDAR

Desviación estándar

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La desviación estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.

Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.

Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

Contenido

Interpretación y aplicación

La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la media aritmética.

Por ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar muestrales son 8,08; 5,77 y 1,15 respectivamente. La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.

La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas. Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo teórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media de las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría. Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cual sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La desviación estándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de los datos alrededor de un valor central (la media o promedio).

Desglose

La desviación estándar (DS/DE), también llamada desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores concretos del promedio en una distribución. De hecho, específicamente, la desviación estándar es "el promedio del cuadrado de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma, \sigma^{}_{}.

La desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían los datos de su media. Esta medida es más estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato.

Distribución de probabilidad continua

Es posible calcular la desviación estándar de una variable aleatoria continua como la raíz cuadrada de la integral

{\sigma}^2 = \int_{-\infty}^\infty {(x - \mu)}^2 f(x) dx

donde

\mu = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx

Distribución de probabilidad discreta

La DS es la raíz cuadrada de la varianza de la distribución de probabilidad discreta

\sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2

Así la varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.

Aunque esta fórmula es correcta, en la práctica interesa realizar inferencias poblacionales, por lo que en el denominador en vez de n, se usa n-1 (Corrección de Bessel) Esta ocurre cuando la media de muestra se utiliza para centrar los datos, en lugar de la media de la población. Puesto que la media de la muestra es una combinación lineal de los datos, el residual a la muestra media se extiende más allá del número de grados de libertad por el número de ecuaciones de restricción - en este caso una. Dado esto a la muestra así obtenida de una muestra sin el total de la población se le aplica esta corrección con la fórmula desviación estándar muestral. Cuando los casos tomados son iguales al total de la población se aplica la fórmula de desviación estándar poblacional.

s^2 = \frac{ \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 }{n-1}

También hay otra función más sencilla de realizar y con menos riesgo de tener equivocaciones :

s^2 = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\overline{x}^2}{n-1}

Ejemplo

Aquí se muestra cómo calcular la desviación estándar de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños: { 4, 1, 11, 13, 2, 7 }

1. Calcular el promedio o media aritmética \overline{x}.

\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i.

En este caso, N = 6 porque hay seis datos:

x_1 = 4\,\!
x_2 = 1\,\!
x_3 = 11\,\!
x_4 = 13\,\!
x_5 = 2\,\!
x_6 = 7\,\!

i = número de datos para sacar desviación estándar

\overline{x}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 x_i       Sustituyendo N por 6
\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 \right )
\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( 4 + 1 + 11 + 13 + 2 + 7 \right )
\overline{x}= 6,33   Este es el promedio.


2. Calcular la desviación estándar \sigma\,\!

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}
\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \sum_{i=1}^6 (x_i - \overline{x})^2}       Sustituyendo N - 1 por 5; ( 6 - 1 )
\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \sum_{i=1}^6 (x_i - 6,33)^2}       Sustituyendo \overline{x} por 6,33


\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \left [ (4 - 6,33)^2 + (1 - 6,33)^2 + (11 - 6,33)^2 + (13 - 6,33)^2 +(2 - 6,33)^2 + (7 - 6,33)^2 \right ] }
\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \left [ (-2,33)^2 + (-5,33)^2 + 4,67^2 + 6,67^2 + (-4,33)^2 + 0,67^2 \right ] }
\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \left ( 5,43 + 28,4 + 21,8 + 44,5 + 18,7 + 0,449 \right ) }
\sigma = \sqrt{\frac{119,28}{5}}
\sigma = \sqrt{23,86}
\sigma = 4,88\,\!   Éste es el valor de la desviación estándar.

Comentarios

este tema nos dice qe la desviación estándar o desviación típica es una medida de centralización o dispersión para variables de razón y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva tambien nos dice qe la desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio que dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el promedio o variación esperada con respecto a la media aritmética pies para mi eso es lo mas inportante. asta mañana

Hola ing julio: pues muy bueno zu clase y muy interesante pues la verdad ezpero aprender algoo de usted. La forma en que usted noz enseña es muy buena ezpero y sigamoz azii gracias...

Hola.. inge!!! buenas.., gracias por la información es muy útil y muy interesante por que habla de la desviación de las medidas y es la diferencia en un valor absoluto en la variable. En este capitulo la complejidad del tema y las formulas es muy alta, pero trataremos de hacer todo lo posible para hacer todo bien. Que le valla bien y cuídese.

buenas tardes profe julio cesar pues el tema esta muy interesante la desviacion estandar pues dice que es una medida estandar de la desausiacion de la media es la diferencia en un balor absoluto entre cada valor de la variable estadistica es la media aritmetica este nos sirve para sacar u valor determinado auque tengamos un numeros de cuentas gracias profe esto me ayu mucho a entender del tema

buenas tardes profe pues es muy comprendible la informacion se entiende y mas lo que explica es exelente, nos dice que dice que es una medida estandar de la desausiacion de la media es la diferencia en un balor absoluto entre cada valor de la variable adios

ola profe pues esta información es muy importante para nosotros pues así aprendemos mas sobre la estadística nos facilita mas captar la informaron que usted nos brinda

la informacion es muy interesante porque le entendes un poco mejor y nos dice los conceptos y algunos ejemplos y lo podemos vajar la informacion para poder copiarlo gracias...

ola profe... la verda profe es q los temas que dan se entienden pero cuando lo explica en clases se entiende mucho mejor siga haci :)

ola ing pues este tema es muy importante ya nos habla de lo que es desviacion estandar ya que es una medida de dispercion utlizada en fisica al igual que otros temas que emos visto son interesantes , gracias por enseñarnos de esta manera aprendemos muy bien.

ola ing. julio pss este tema es de mucha suma de importacia xq nos ayuda a implementar mas sobre la materia de estadistica.. la la raíz cuadrada de la varianza trata mas q nada en el valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, SALUDOS....

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